實變函數與泛函課程改革

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摘要：本文探討了《實變函數與泛函分析》課程內容改革，一是采用一維化方法從一維實數空間的測度論開始學習，二是采用測度的可數可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理的學習路徑學習測度論，可測函數和積分論的性質。此教學方案突出課程核心內容，減輕了課程難度，適合數學類和相關專業學生學習。

關鍵詞：一維化方法；測度論；學習路徑

一、引言

隨著大學教育跟國際接軌，在筆者所在首都經濟貿易大學，高年級數學課程越來越受到重視。《實變函數與泛函分析》（簡稱實變課程）課程不僅是數學、統計類學生的必修課，也在經濟、管理類學生中受到歡迎。隨著學生范圍的擴大，有必要針對學生背景改革實變課程的教學內容和方法。

二、《實變函數與泛函分析》課程教學改革建議

實變課程的主要內容是通過n維歐式空間（簡記為n維空間）上Lebesgue意義下測度、可測函數、積分論基本理論的學習，理解抽象測度論和n維空間結構相互結合。n維空間上測度論是后繼課程《測度論》和《隨機過程》的基礎，也是現代數學的基石。由于測度論的抽象性，我們都是通過學習n維空間上測度論過渡到抽象測度論。n維空間上測度論包括許多抽象測度論的內容，給出了抽象測度論具體實現的空間，也是對實數結構更加深入的認識。采用教材[1]得到啟發，筆者認為可以在兩個大方面改善課程教學，第一個方面是在n維空間測度論學習中首先學習一維實數空間、R的測度論，從R的測度論出發再深入學習n維空間的測度論，第二個方面是在完成測度論學習后，采用抽象測度論的方法把測度、可測函數和積分論的性質聯系在一起，具體學習路徑是：測度的可數可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理圯Fatou引理圯Lebesgue控制收斂定理。我們從實變課程中測度、可測函數和積分論來討論以上兩個方面。（一）學習n維空間測度論的新方法第一步，R實數空間。我們知道測度論的學習一般分為兩個階段，第一階段《實變》課程學習n維空間上Lebesgue測度論，第二階段《測度論》課程學習抽象測度論。國內數學教材比如[2]，是直接學習n維歐式空間測度理論。傳統數學系學生已經對n維空間的拓撲結構有比較深入的了解，此方法不無不可。而對財經類院校學生，對于n維空間不太熟悉，那么直接學習n維歐式空間測度理論有相當難度。筆者翻閱了眾多教材，發現書[1]從n=1，即實數軸R上的測度論講起，非常方便數學基礎相對薄弱的學生直接學習實變課程。我們敘述學習R上測度論的優點：1.R上容易證明以下命題。命題1（[1]Propostion1P31）：R上區間的外測度是其長度。我們對R上開區間I=（a，b）定義長度為l（I）=b-a。任何集合A定義外測度，找可數個開區間覆蓋A，求出開區間的長度和，最后對有所有長度和取下確界，即m*（A）=inf∞k=1Σl（Ik）|A哿∞k=1胰Ik胰胰。此定義是從長度到測度的重要步驟，保證了數學理論邏輯的完整性。R上區間的外測度是其長度的結論雖然非常直觀，但是證明需要一定的技巧，用到了閉區間的緊致性（證明參見[1]Propostion1P31）。另一方面，在敘述完外測度的定義后，外測度的單調性、次可數可加性屬于抽象測度論內容。2.R上容易證明以下命題。命題2（[1]Propostion8P38）：R上每個區間是可測的。在抽象測度論方面，我們引入Caratheodory條件定義可測集。測度就是外測度在可測集上的限制。可測集滿足σ-代數性質，且測度具有可數可加性，上、下連續性。關鍵在R上我們可以比較容易地證明每個區間都是可測的，避免n維空間上結果的技術細節，從而通過區間生成Borel可測集和Lebesgue可測集。3.R的拓撲結構簡單，我們有如下命題。命題3（[1]Propostion9P17）：R的非空開集是可數個開區間的并集，非空閉集是可數個閉區間的并集。R上拓撲結構是開、閉區間概念的直接推廣，直接引入了拓撲概念。我們可以用開集、閉集逼近可測集，便于理解拓撲與測度的關系（[1]P40）。學習n維空間測度論的新方法第二步，n維空間。在具體學完R上測度后，我們對抽象測度論有一定理解，只需拓展以上三個命題就可以理解n維空間上Lebesgue測度論，大大減輕了學習難度。命題1’（[1]例P62）：n維空間上矩體的外測度是其體積。命題2’（[1]定理2.9P74）：n維空間上每個開矩體是可測的。命題3’n維空間上每個開集是可數個開矩體的并集。命題1’在書[2]中并沒有給出詳細證明，其具體證明細節把命題1的證明推廣到多維。命題2’比命題2的證明復雜。（二）對于R上的可測函數類，我們可以比較簡單地證明Littlewood三原則（[1]P64）。①每個可測集幾乎是有限個區間的并集（[1]Theorem12P41）。②每個可測函數幾乎是連續的，即魯津定理（[1]P66）。③函數列點態收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P64）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測度的連續性，即測度可數可加性的一個推論，聯系了測度和可測函數的性質（[1]RemarkP78）。（三）對于R上的可測函數的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯系了可測函數和積分的性質（[1]RemarkP78），進而證明Fatou引理，單調收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。以上（二），（三）部分參考學習路徑，屬于抽象測度論的內容，其結果可以平行地推廣到Rn空間中。

三、結束語

綜上所述，以上《實變函數與泛函分析》課程關于一維化方法和測度、可測函數、積分論學習路徑的建議是適應課程面向大眾化的改革方案，突出核心內容，極大減輕了教學內容的難度，便于學生學習。根據學生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓撲空間、Banach空間、Hilbert空間等內容。

參考文獻：

[1]H.Royden,P.Fitzpatrick.RealAnalysi,FourthEdition[M].機械工業出版社,2010.

[2]周民強.實變函數論[M].第2版.北京大學出版社,2008.

作者:簡思綦 單位:首都經濟貿易大學